Question

【題目】如圖，⊙M的圓心M（﹣1，2），⊙M經過坐標原點O，與y軸交于點A，經過點A的一條直線l解析式為：y=﹣ x+4與x軸交于點B，以M為頂點的拋物線經過x軸上點D（2，0）和點C（﹣4，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：直線l是⊙M的切線；
（3）點P為拋物線上一動點，且PE與直線l垂直，垂足為E，PF∥y軸，交直線l于點F，是否存在這樣的點P，使△PEF的面積最小？若存在，請求出此時點P的坐標及△PEF面積的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）（x+4），將點M的坐標代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣ ．

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+

（2）

解：連接AM，過點M作MG⊥AD，垂足為G．

把x=0代入y=﹣ x+4得：y=4，

∴A（0，4）．

將y=0代入得：0=﹣ x+4，解得x=8，

∴B（8，0）．

∴OA=4，OB=8．

∵M（﹣1，2），A（0，4），

∴MG=1，AG=2．

∴tan∠MAG=tan∠ABO= ．

∴∠MAG=∠ABO．

∵∠OAB+∠ABO=90°，

∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°．

∴l是⊙M的切線

（3）

解：∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°，

∴∠FPE=∠FBD．

∴tan∠FPE= ．

∴PF：PE：EF= ：2：1．

∴△PEF的面積= PEEF= × PF PF= PF2．

∴當PF最小時，△PEF的面積最小．

設點P的坐標為（x，﹣ x2﹣ x+ ），則F（x，﹣ x+4）．

∴PF=（﹣ x+4）﹣（﹣ x2﹣ x+ ）=﹣ x+4+ x2+ x﹣ = x2﹣ x+ = （x﹣ ）2+ ．

∴當x= 時，PF有最小值，PF的最小值為 ．

∴P（ ， ）．

∴△PEF的面積的最小值為= ×（ ）2=

【解析】（1）設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）（x+4），將點M的坐標代入可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；（2）連接AM，過點M作MG⊥AD，垂足為G．先求得點A和點B的坐標，可求得，可得到AG、ME、OA、OB的長，然后利用銳角三角函數的定義可證明∠MAG=∠ABD，故此可證明AM⊥AB；（3）先證明∠FPE=∠FBD．則PF：PE：EF= ：2：1．則△PEF的面積= PF2 ， 設點P的坐標為（x，﹣ x2﹣ x+ ），則F（x，﹣ x+4）．然后可得到PF與x的函數關系式，最后利用二次函數的性質求解即可．
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．