Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與A、B重合），D為的中點，過點D作弦DE⊥AB于F，P是BA延長線上一點，且∠PEA＝∠B．

（1）求證：PE是⊙O的切線；

（2）連接CA與DE相交于點G，CA的延長線交PE于H，求證：HE＝HG；

（3）若tan∠P＝，試求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）連接OE，由圓周角定理證得∠EAB+∠B＝90°，可得出∠OAE＝∠AEO，則∠PEA+∠AEO＝90°，即∠PEO＝90°，則結論得證；

（2）連接OD，證得∠AOD＝∠AGF，∠B＝∠AEF，可得出∠PEF＝2∠B，∠AOD＝2∠B，可證得∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，則結論得證；

（3）可得出tan∠P＝tan∠ODF＝，設OF＝5x，則DF＝12x，求出AE，BE，得出，證明△PEA∽△PBE，得出，過點H作HK⊥PA于點K，證明∠P＝∠PAH，得出PH＝AH，設HK＝5a，PK＝12a，得出PH＝13a，可得出AH＝13a，AG＝10a，則可得出答案．

解：（1）證明：如圖1，連接OE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB+∠B＝90°，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠AEO，

∴∠B+∠AEO＝90°，

∵∠PEA＝∠B，

∴∠PEA+∠AEO＝90°，

∴∠PEO＝90°，

又∵OE為半徑，

∴PE是⊙O的切線；

（2）如圖2，連接OD，

∵D為的中點，

∴OD⊥AC，設垂足為M，

∴∠AMO＝90°，

∵DE⊥AB，

∴∠AFD＝90°，

∴∠AOD+∠OAM＝∠OAM+∠AGF＝90°，

∴∠AOD＝∠AGF，

∵∠AEB＝∠EFB＝90°，

∴∠B＝∠AEF，

∵∠PEA＝∠B，

∴∠PEF＝2∠B，

∵DE⊥AB，

∴，

∴∠AOD＝2∠B，

∴∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，

∴HE＝HG；

（3）解：如圖3，

∵∠PEF＝∠AOD，∠PFE＝∠DFO，

∴∠P＝∠ODF，

∴tan∠P＝tan∠ODF＝，

設OF＝5x，則DF＝12x，

∴OD＝＝13x，

∴BF＝OF+OB＝5x+13x＝18x，AF＝OA﹣OF＝13x﹣5x＝8x，

∵DE⊥OA，

∴EF＝DF＝12x，

∴AE＝＝4x，BE＝＝6x，

∵∠PEA＝∠B，∠EPA＝∠BPE，

∴△PEA∽△PBE，

∴，

∵∠P+∠PEF＝∠FAG+∠AGF＝90°，

∴∠HEG＝∠HGE，

∴∠P＝∠FAG，

又∵∠FAG＝∠PAH，

∴∠P＝∠PAH，

∴PH＝AH，

過點H作HK⊥PA于點K，

∴PK＝AK，

∴，

∵tan∠P＝，

設HK＝5a，PK＝12a，

∴PH＝13a，

∴AH＝13a，PE＝36a，

∴HE＝HG＝36a﹣13a＝23a，

∴AG＝GH﹣AH＝23a﹣13a＝10a，

∴．