Question

（2013年四川攀枝花12分）如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過點A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P為第三象限內拋物線上的一點，設△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；
（3）設拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由于拋物線y=ax²+bx+c經過A（﹣3，0），B（1，0），可設拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x﹣1），
將C點坐標（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）=5，解得 a=1。
∴拋物線的解析式為：y=（x+3）（x﹣1），即y=x²+2x﹣3。
（2）如圖1，過點P作x軸的垂線，交AC于點N．

設直線AC的解析式為y=kx+m，由題意，得，解得。
∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣3。
設P點坐標為（x，x²+2x﹣3），
則點N的坐標為（x，﹣x﹣3），
∴PN=PE﹣NE=﹣（x²+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x²﹣3x。
∵S_△PAC=S_△PAN+S_△PCN，
∴。
∴當x=時，S有最大值，此時點P的坐標為（，）。
（3）在y軸上是否存在點M，能夠使得△ADE是直角三角形。理由如下：
∵y=x²+2x﹣3=y=（x+1）²﹣4，∴頂點D的坐標為（﹣1，﹣4）。
∵A（﹣3，0），∴AD²=（﹣1+3）²+（﹣4﹣0）²=20。
設點M的坐標為（0，t），分三種情況進行討論：
①當A為直角頂點時，如圖2，

由勾股定理，得AM²+AD²=DM²，
即（0+3）²+（t﹣0）²+20=（0+1）²+（t+4）²，解得t=。
∴點M的坐標為（0，）。
②當D為直角頂點時，如圖3，

由勾股定理，得DM²+AD²=AM²，
即（0+1）²+（t+4）²+20=（0+3）²+（t﹣0）²，解得t=。
∴點M的坐標為（0，）。
③當M為直角頂點時，如圖4，

由勾股定理，得AM²+DM²=AD²，
即（0+3）²+（t﹣0）²+（0+1）²+（t+4）²=20，解得t=﹣1或﹣3。
∴點M的坐標為（0，﹣1）或（0，﹣3）。
綜上所述，在y軸上存在點M，能夠使得△ADE是直角三角形，此時點M的坐標為（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）。

解析