Question

【題目】已知，如圖，BD為⊙O的直徑，點A、C在⊙O上并位于BD的兩側，∠ABC＝45°，連結CD、OA并延長交于點F，過點C作⊙O的切線交BD延長線于點E．

（1）求證：∠F＝∠ECF；

（2）當DF＝6，tan∠EBC＝，求AF的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連結OC，根據切線的性質得到OC⊥CE，根據圓周角定理得到∠AOC＝90°，計算即可證明；

（2）DC＝x，根據正切的定義用x表示出BC、BD、OC，根據正切的定義列式計算即可．

（1）證明：連結OC，

∵CE切圓O于C，

∴OC⊥CE，

∴∠OCF+∠FCE＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，

∴∠F+∠OCF＝90°，

∴∠F＝∠ECF；

（2）設DC＝x，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵BD為圓O的直徑

∴∠BCO+∠OCD＝90°，

∵∠ECD+∠OCD＝90°，

∴∠OBC＝∠ECD，

∵∠F＝∠ECD，

∴∠F＝∠EBC，

在Rt△BCD中，tan∠EBC＝，

則BC＝2DC＝2x，BD＝x，

∴OC＝OA＝x，

在Rt△FOC中，tanF＝tan∠EBC＝

∴FC＝OC，即6+x＝x，

解得，x＝4，

∴OF＝2OC＝4，

∴AF＝OF﹣AO＝2．