Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S．求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線解析式為y=a（x+4）（x﹣2），

將B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a= ，

則拋物線解析式為y= （x+4）（x﹣2）= x2+x﹣4；

（2）

解：過M作MN⊥x軸，

將x=m代入拋物線得：y= m2+m﹣4，即M（m， m2+m﹣4），

∴MN=| m2+m﹣4|=﹣ m2﹣m+4，ON=﹣m，

∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4，

∴△AMB的面積為S=S△AMN+S梯形MNOB﹣S△AOB

= ×（4+m）×（﹣ m2﹣m+4）+ ×（﹣m）×（﹣ m2﹣m+4+4）﹣ ×4×4

=2（﹣ m2﹣m+4）﹣2m﹣8

=﹣m2﹣4m

=﹣（m+2）2+4，

當m=﹣2時，S取得最大值，最大值為4．

【解析】（1）根據拋物線與x軸的交點A與C坐標設出拋物線的二根式方程，將B坐標代入即可確定出解析式；（2）過M作x軸垂線MN，三角形AMB面積=梯形MNOB面積+三角形AMN面積﹣三角形AOB面積，求出即可．