Question

【題目】已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，線段AB的兩個端點A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點C為線段AB的中點，現將線段BA繞點B按順時針方向旋轉90°得到線段BD，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點D．

（1）如圖1，若該拋物線經過原點O，且a=﹣．

①求點D的坐標及該拋物線的解析式；

②連結CD，問：在拋物線上是否存在點P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由；

（2）如圖2，若該拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點E（1，1），點Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點的個數是3個，請直接寫出a的值．

Answer 1

【答案】（1）①D的坐標是（3，1），拋物線的解析式為y=﹣x2+x；②在拋物線上是否存在點P（，）或（，﹣），使得∠POB與∠BCD互余；（2）a的值為a=．

【解析】

試題分析： （1）①過點D作DF⊥x軸于點F，先通過三角形全等求得D的坐標，把D的坐標和a=﹣ ，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得拋物線的解析式；②先證得CD∥x軸，進而求得要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，設P的坐標為（x，﹣ x2+x），分兩種情況討論即可求得；（2）若符合條件的Q點的個數是3個，根據tan∠QOB=tan∠BAO==，得到直線OQ的解析式為y=﹣x，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有一個交點，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有兩個相等的實數根，所以△=（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）=0，即4a2﹣8a+=0，解得a=,根據實際情況對a進行取值即可．

試題解析：（1）①過點D作DF⊥x軸于點F，如圖1，

∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠DBF=∠BAO，

又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，

∴△AOB≌△BFD（AAS）

∴DF=BO=1，BF=AO=2，

∴D的坐標是（3，1），

根據題意，得a=﹣，c=0，且a×32+b×3+c=1，

∴b=，

∴該拋物線的解析式為y=﹣x2+x；

②∵點A（0，2），B（1，0），點C為線段AB的中點，

∴C（，1），

∵C、D兩點的縱坐標都為1，

∴CD∥x軸，

∴∠BCD=∠ABO，

∴∠BAO與∠BCD互余，

要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，

設P的坐標為（x，﹣ x2+x），

（Ⅰ）當P在x軸的上方時，過P作PG⊥x軸于點G，如圖2，

則tan∠POB=tan∠BAO，即=，

∴，解得x1=0（舍去），x2=，

∴﹣x2+x=，

∴P點的坐標為（，）；

（Ⅱ）當P在x軸的下方時，過P作PG⊥x軸于點G，如圖3

則tan∠POB=tan∠BAO，即=，

∴，解得x1=0（舍去），x2=，

∴﹣x2+x=﹣，

∴P點的坐標為（，﹣）；

綜上，在拋物線上是否存在點P（，）或（，﹣），使得∠POB與∠BCD互余．

（2）如圖3，∵D（3，1），E（1，1），

拋物線y=ax2+bx+c過點E、D，代入可得 ，解得 ，

所以y=ax2﹣4ax+3a+1．

分兩種情況：

①當拋物線y=ax2+bx+c開口向下時，若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點的個數不可能是3個

②當拋物線y=ax2+bx+c開口向上時，

（i）當點Q在x軸的上方時，直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c必有兩個交點，符合條件的點Q必定有2個；

（ii）當點Q在x軸的下方時，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c只有1個交點，才能使符合條件的點Q共3個．

根據（2）可知，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠QOB=∠BAO，

∴tan∠QOB=tan∠BAO==，此時直線OQ的解析式為y=﹣x，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有一個交點，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有兩個相等的實數根，所以△=（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）=0，即4a2﹣8a+=0，解得a=，

∵拋物線的頂點在x軸下方

∴＜0，

∴a＞1，

∴a=舍去

綜上所述，a的值為a=．