Question

【題目】已知：如圖1，點O是直線AB上一點，過點O作射線OC.

(1)若∠AOC=140°，則∠BOC=________°.

(2)在圖1中分別畫∠AOC的角平分線OE和∠BOC的角平分線OF，那么,OE和OF有什么位置關系，請說明理由.

(3)若∠BOC=30°，射線OD從OB出發，繞點O以每秒10°角的速度逆時針旋轉.當射線OD與射線OA重合時，射線OC以每秒30°角的速度繞點O逆時針旋轉，射線OD按原來的速度和方向繼續旋轉，當射線OC或射線OD中有一條射線與射線OB重合時，兩條射線都停止.設射線OD旋轉的時間為t秒，在旋轉的過程中，是否存在某個時刻，使得射線OB、OC與OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的平分線?若存在，直接寫出所有滿足條件的t的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）40；（2）EO⊥FO，理由見解析（3）t=1.5s或6s

【解析】

（1）根據鄰補角即可求解；

（2）根據角平分線與垂直的定義即可求解；

（3）分射線OD是射線OB、射線OC的角平分線；射線OC是射線OD、射線OB的角平分線；射線OB是射線OD、射線OC的角平分線分別討論即可求解.

（1）∵∠AOC=140°，則∠BOC=180°-∠AOC=40°，

故填：40；

（2）EO⊥FO，理由如下：

如圖：∵OE是∠AOC的角平分線，OF是∠BOC的角平分線，

∴∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，

∴∠COE+∠COF=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=×180°=90°，

即∠EOF=90°，

∴EO⊥FO.

（3）由題意得當OD運動到OA時，t=18s，當OD運動到OB時，t=36s,當OC運動到OB時，t=18+330÷30=29s,

①射線OD是射線OB、射線OC的角平分線時，

當OD運動，OC不動時，0＜t＜18，

∵∠BOC=30°，

∴∠BOD=∠BOC=15°，

故t=15÷10=1.5s

當OD運動，OC也運動時，18＜t＜29,

∠BOD=360°-10t,∠BOC=360°-30-30（t-18）

∵∠BOD=∠BOC

∴360°-10t=[360°-30-30（t-18）]

解得t=15s,不符合題意，舍去；

②射線OC是射線OD、射線OB的角平分線時

當OD運動，OC不動時，0＜t＜18，

∵∠BOC=30°，

∴∠BOD=2∠BOC=60°，t=60÷10=6s;

當OD運動，OC也運動時，18＜t＜29,

射線OC在射線OB與射線OD所夾鈍角之間，不符合題意；

③射線OB是射線OD、射線OC的角平分線

不存在當OD運動，OC不動的情況；

當OD運動，OC也運動時，18＜t＜29,

射線OB在射線OC與射線OD所夾鈍角之間，不符合題意

綜上，t=1.5s或6s時，使得射線OB、OC與OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的平分線.