Question

如圖1，矩形OABC的頂點O為原點，點E在AB上，把△CBE沿CE折疊，使點B落在OA邊上的點D處，點A、D坐標分別為（10，0）和（6，0），拋物線y=

1

5

x2+bx+c過點C、B．
（1）求C、B兩點的坐標及該拋物線的解析式；
（2）如圖2，長、寬一定的矩形PQRS的寬PQ=1，點P沿（1）中的拋物線滑動，在滑動過程中PQ∥x軸，且RS在PQ的下方，當P點橫坐標為-1時，點S距離x軸

11

5

個單位，當矩形PQRS在滑動過程中被x軸分成上下兩部分的面積比為2：3時，求點P的坐標；
（3）如圖3，動點M、N同時從點O出發，點M以每秒3個單位長度的速度沿折線ODC按O→D→C的路線運動，點N以每秒8個單位長度的速度沿折線OCD按O?C?D的路線運動，當M、N兩點相遇時，它們都停止運動．設M、N同時從點O出發t秒時，△OMN的面積為S．①求出S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍：②設S₀是①中函數S的最大值，那么S₀=

 

．

Answer 1

分析：（1）本題可根據折疊的性質進行求解．根據折疊的性質可知：CD=BC=OA，可在直角三角形OCD中用勾股定理求出OC的長，即可求出C、B的坐標，將這兩點坐標代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．
（2）先根據x=-1時，P的縱坐標求出PS的長即矩形的長，然后根據矩形被x軸分成上3下2兩部分，可求出此時P點的縱坐標，代入拋物線中即可求出P點的坐標．
（3）一：本題要分三種情況進行討論：
①當0≤t≤1時，此時N在OC上．M在OD上．可用t表示出OM、ON的長，進而可求出S、t的函數關系式．
②當1＜t≤2時，此時N在CD上，M在OD上．過N作x軸的垂線，在構建的直角三角形中，用ND的長求出△OMN的高，而后同①．
③當2＜t≤

24

11

時，此時，N、M均在CD上．先用t表示出NM的長，然后過O作OH⊥CD于H，在直角三角形OCH（或ODH）中，用OC的長和∠OCD的正弦值求出△OMN中NM邊上的高．
二：根據一的函數的性質及自變量的取值范圍即可求出S的最大值及對應的t的值．

解答：解：（1）∵A（10，0），D（6，0），
∴OA=10，OD=6，
又∵四邊形OCBA為矩形，
∴∠COA=∠BAO=90°OC=AB=BC=OA=10．
又∵△CED為△CBE沿CE翻折得到的，
∴CD=CB=10，
∴在Rt△COD中，由勾股定理得：OC=

CD2-OD2

=8．
∴C（0，8），B（10，8），
又∵C、B均在y=

1

5

x²+bx+c上，
∴

c=8 100× 1 5 +10b+c=8

，
∴

c=8 b=-2

，
∴y=

1

5

x²-2x+8；

（2）當x=-1時，y=

1

5

×（-1）²-2×（-1）+8=

51

5

，
∴此時P（-1，

51

5

），
又∵S距離x軸上方

11

5

個單位，
∴PS=

51

5

-

11

5

=8，
∴矩形PQRS的長為8，寬為1，
設PQRS在下滑過程中交x軸分別于G、H兩點．
則由題意知：

S矩形PQHG

S矩形HGSR

=

2

3

，
∴

PG

GS

=

2

3

，
∴PG=

2

5

PS=

16

5

．
故P的縱坐標為

16

5

，
∴設P（a，

16

5

），則

1

5

a²-2a+8=

16

5

，
∴a₁=4，a₂=6，（1分）
∴P（4，

16

5

）或（6，

16

5

）；

（3）∵點M的速度是每秒3個單位長度，點N的速度是每秒8個單位長度，
∴3t+8t=6+8+10，
解得t=

24

11

，
①當0≤t≤1時，此時N在OC上．M在OD上．
∴S_△OMN=

1

2

OM•NH=

1

2

×3t×8t=12t²，
此時，當t=1時，S_大=12，
②當1＜t≤2時，此時N在CD上，M在OD上．
則DN=18-8t，
過N作NH⊥OD于H，
則

NH

ND

=sin∠CDO=

OC

CD

=

4

5

，
∴NH=

4

5

DN=

4

5

（18-8t）=

8

5

（9-4t）．
∴S_△OMN=

1

2

OM•ON，
=

1

2

×

8

5

（9-4t）×3t，
=-

48

5

t²+

108

5

t，
=-

48

5

（t-

9

8

）²+

243

20

，
∴當t=

9

8

時，S_大=

243

20

=12.15．
③當2＜t≤

24

11

時，此時，N、M均在CD上，
則MN=24-11t，
過O作OH⊥CD于H，
則由等面積得：OH=

24

5

，
∴S_△OMN=

1

2

OH•MN=

1

2

×

24

5

×（24-11t）=-

132

5

t+

288

5

，
此時當t=2時，S_大=

24

5

．

點評：本題主要考查了矩形的性質、圖形的折疊變換、圖形面積的求法以及二次函數的應用等知識．
綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．