Question

9．（1）問題發現
如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE，求∠AEB的度數．
（2）拓展探究
如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請求∠AEB的度數及線段CM，AE，BE之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先證出∠ACD=∠BCE，那么△ACD≌△BCE，根據全等三角形證出∠ADC=∠BEC，求出∠ADC=120°，得出∠BEC=120°，從而證出∠AEB=60°；
（2）證明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，最后證出DM=ME=CM即可．

解答 解：（1）∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°-∠CDB=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°．
（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．
理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質和等腰三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質；證明三角形全等是解決問題的關鍵．