Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠DAB=60°，E為BC的中點(diǎn)，在對(duì)角線AC上存在一點(diǎn)P，使△PBE的周長(zhǎng)最小，則△PBE的周長(zhǎng)的最小值為 (　 )

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

如下圖，△BEP的周長(zhǎng)=BE+BP+EP，其中BE是定值，只需要BP+PE為最小值即可，過點(diǎn)E作AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接FB，則FB就是BP+PE的最小值．

如下圖，過點(diǎn)E作AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接FB，FE，過點(diǎn)B作FE的垂線，交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G

∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

∴BE=2

∵∠DAB=60°，∴∠FCE=60°

∵點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)

∴根據(jù)菱形的對(duì)稱性可知，點(diǎn)F在DC的中點(diǎn)上

則CF=CE=2

∴△CFE是等邊三角形，∴∠FEC=60°，EF=2

∴∠BEG=60°

∴在Rt△BEG中，EG=1，BG=

∴FG=1+2=3

∴在Rt△BFG中，BF==2

根據(jù)分析可知，BF=PB+PE

∴△PBE的周長(zhǎng)=2

故選：C