Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，點M、N分別在線段DA、BA的延長線上，且BD=BN=DM，連接BM、DN并延長交于點P．

（1）求證：∠P=90°﹣∠C；

（2）當∠C=90°，ND=NP時，判斷線段MP與AM的數量關系，并給予證明．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）

【解析】分析（1）首先過點B作BF⊥PD于點F，過點D作DG⊥BP于點G，BF與DG交于點H，由BD=BN=DM，可得BF與DG是∠DBN、∠MDB的平分線，又由四邊形內角和為360°，可得∠P+∠FHG=180°，繼而可得∠DHB=∠FHG=180°-∠P=90°+∠C，則可證得結論；

（2）首先過點P作PS⊥CD于點S，PR⊥BC于點R，易證得△PKD≌△PSD（AAS），同理：△PKB≌△PRB，然后延長BN交QS于點Q，則Q為PS的中點，設QS=PQ=x，即可求得答案．

詳解（1）證明：過點B作BF⊥PD于點F，過點D作DG⊥BP于點G，BF與DG交于點H，

∴∠FHG+∠P=180°，

∴∠DHB+∠P=180°，

∴∠DHB=180°﹣∠P，

∵BD=BN=DM，

∴BF與DG是∠DBN、∠MDB的平分線，

∴由四邊形內角和為360°，可得∠P+∠FHG=180°，

∵∠DHB=180°﹣（∠GDB+∠FBD）=180°﹣（180°﹣∠DAB）=90°﹣∠DAB，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠DAB=∠C，

∴∠DHB=90°﹣∠C，

∵∠DHB=180°﹣∠P，

∴180°﹣∠P=90°+∠C，

∴∠P=90°﹣∠C；

（2）MP：AM=：2．

理由：過點P作PS⊥CD于點S，PR⊥BC于點R，

當∠C=90°時，則∠DPB=45°，

∵BN∥CD，

∴∠BND=∠BDN=∠SDN，

同理：∠PBD=∠PBR，

作PK⊥BD于點K，

在△PKD和△PSD中，

∴△PKD≌△PSD（AAS），

同理：△PKB≌△PRB，

∴PS=PR，

∴四邊形PSCR是正方形，

延長BN交QS于點Q，則Q為PS的中點，

設QS=PQ=x，

則PS=CS=RC=2x，RB=KB=x，

設SD=m，BD=x+m，

則（x+m）2=x2+（2x﹣m）2，

∴m：x=2：3，

∴DK=SD=x，BD=x，

∴AM=DM﹣AD=BD﹣AD=x，

根據勾股定理得，AB==x，

在Rt△ABM中，BM=，

∴PB=，

∴PM=，

∴MP：AM=：2．