Question

如圖△ABC中，AB=AC，∠A=120°

（1）用直尺和圓規作AB的垂直平分線，分別交BC，AB于點M，N（保留痕跡，不寫作法）
（2）猜想CM與BM有何數量關系，并證明你的猜想。

Answer 1

（1）

（2）連接AM，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，而MN⊥AB，∴BM:BN=2:，MN為AB垂直平分線，∴AB=2BN，AM=BM，所以AB=BM，∠BAM=∠B=30°，又∠B=∠B，∴△ABC∽△MBA，∴BM:AB=AB:BC，又BC=BM+CM，化簡得CM=2BM。

試題分析：（1）直線的垂直平分線做法，用圓規在A點固定，并且圓規腳之間的距離應該大于AB點距離的一半，分別在AB的上方和下方各畫一道弧，同樣的方法，在B點固定，畫出上下方各一道弧，通過兩組弧所成的直線即為AB的垂直平分線。（2）這道題通過線求出直角三角形中有一個角為30°，進而推導出斜邊與30度角所對應邊的兩倍關系，從而可以求出BM與AB的關系，接著又證明兩個三角形相似，從而按照相似三角形對應邊成比例的性質，求出BM與CM的關系。
點評：（1）尺規作圖一直是考試的考點之一，需要記住如垂直平分線、角平分線等一些常用的尺規作圖題型。（2）解答這類題時，首先要先看看是否需要畫輔助線，接著，由直角三角形以及30度角，可以判斷出這類直角三角形的特殊性，從而分析各邊的關系。接著又由相似三角形各邊的比例關系，以及各邊的比值關系，進而推導出其函數關系值。