Question

如圖所示，在等邊中△ABC，D、E分別是AB、AC上的點，DE∥BC，如圖（1），然后將△ADE繞A點順時針旋轉120°，使B、A、E三點在同一直線上，得到圖（2），M、N分別是BD、CE的中點，連接AM、AN、MN得到圖（3），請解答下列問題：
（1）在圖（2）中，線段BD與線段CE的大小關系是

BD=CE

；
（2）在圖（3）中，△AMN與△ABC是相似三角形嗎？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由在等邊中△ABC，DE∥BC，易證得△ADE也是等邊三角形，然后利用SAS，證得△BAD≌△CAE，即可得BD=CE；
（2）由△BAD≌△CAE，可得∠AEN=∠ADM，又由M、N分別是BD、CE的中點，易得EN=DM，然后根據SAS證得△ADM≌△AEN，即可得AM=AN，∠MAN=60°，判定△AMN是等邊三角形，即可得在圖（3）中，△AMN與△ABC是相似三角形．

解答：解：（1）BD=CE；
理由：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
在圖（1）中，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE是等邊三角形，
∵△ADE繞A點順時針旋轉120°，使B、A、E三點在同一直線上，
∴如圖（2），AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；

（2）△AMN與△ABC相似．
證明：∵M、N分別是BD、CE的中點，
∴EN=

1

2

CE，DM=

1

2

BD，
∵BD=CE，
∴EN=DM，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠AEN=∠ADM，
在△ADM和△AEN中，

AD=AE ∠ADM=∠AEN DM=EN

，
∴△ADM≌△AEN（SAS），
∴AM=AN，∠MAD=∠NAE，
∴∠MAN=∠DAE=60°，
∴△AMN也是等邊三角形，
∴△AMN∽△ABC．
故答案為：（1）BD=CE．

點評：此題考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握數形結合思想與轉化思想的應用．