Question

【題目】已知中，如果過項點的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為的關于點的二分割線．例如：如圖1，中，，，若過頂點的一條直線交于點，若，顯然直線是的關于點的二分割線．

（1）在圖2的中，，．請在圖2中畫出關于點的二分割線，且角度是 ；

（2）已知，在圖3中畫出不同于圖1，圖2的，所畫同時滿足:①為最小角；②存在關于點的二分割線．的度數是 ；

（3）已知，同時滿足：①為最小角；②存在關于點的二分割線．請求出的度數（用表示）．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析，；（2）作圖見解析，；（3）∠A=45°或90°或90°－2α或，或α＝45°時45°＜∠BAC＜90°．

【解析】

（1）根據二分割線的定義，只要把∠ABC分成90°角和20°角即可；

（2）可以畫出∠A=35°的三角形；

（3）設BD為△ABC的二分割線，分以下兩種情況．第一種情況：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形；第二種情況：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形分別利用直角三角形的性質、等腰三角形的性質和三角形的內角和定理解答即可．

解：（1）關于點的二分割線BD如圖4所示，；

故答案為：20°；

（2）如圖所示：∠BAC=35°；

（3）設BD為△ABC的二分割線，分以下兩種情況．

第一種情況：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，易知∠C和∠DBC必為底角，

∴∠DBC＝∠C＝．

當∠A＝90°時，△ABC存在二分分割線；

當∠ABD＝90°時，△ABC存在二分分割線，此時∠A＝90°－2α；

當∠ADB＝90°時，△ABC存在二分割線，此時α＝45°且45°＜∠A＜90°；

第二種情況：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，

當∠DBC＝90°時，若BD＝AD，則△ABC存在二分割線，此時；

當∠BDC＝90°時，若BD＝AD，則△ABC存在二分割線，此時∠A＝45°，

綜上，∠A=45°或90°或90°－2α或，或α＝45°時，45°＜∠BAC＜90°．