Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，過點A的直線l分別與x軸、y軸交于點C，D．

（1）求直線l的函數表達式．

（2）P為x軸上一點，若△PCD為等腰三角形直接寫出點P的坐標．

（3）將線段AB繞B點旋轉90°，直接寫出點A對應的點A的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（﹣6，0），（﹣4，0），（16，0）或（﹣，0）；（3）點A′的坐標為（0，﹣）或（8，）．

【解析】

（1）由點A，B的坐標，利用待定系數法可求出直線l的函數表達式；

（2）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點C，D的坐標，進而可得出CD的長，分DC＝DP，CD＝CP，PC＝PD三種情況考慮：①當DC＝DP時，利用等腰三角形的性質可得出OC＝OP1，進而可得出點P1的坐標；②當CD＝CP時，由CP的長度結合點C的坐標可得出點P2，P3的坐標；③當PC＝PD時，設OP4＝m，利用勾股定理可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，進而可得出點P4的坐標．綜上，此問得解；

（3）過點B作直線l的垂線，交y軸于點E，則△DOC∽△DBE，利用相似三角形的性質可求出點E的坐標，由點B，E的坐標，利用待定系數法可求出直線BE的函數表達式，設點A′的坐標為（n，n﹣），由A′B＝AB可得出關于n的一元二次方程，解之即可得出點A′的坐標，此題得解．

（1）設直線l的函數表達式為y＝kx+b（k≠0），

將A（1，），B（4，）代入y＝kx+b，

得：，解得：，

∴直線l的函數表達式為y＝﹣x+8．

（2）當x＝0時，y＝﹣x+8＝8，

∴點D的坐標為（0，8）；

當y＝0時，﹣x+8＝0，

解得：x＝6，

∴點C的坐標為（6，0），

∴CD＝10．

分三種情況考慮（如圖1所示）：

①當DC＝DP時，OC＝OP1，

∴點P1的坐標為（﹣6，0）；

②當CD＝CP時，CP＝10，

∴點P2的坐標為（﹣4，0），點P3的坐標為（16，0）；

③當PC＝PD時，設OP4＝m，

∴（6+m）2＝82+m2，

解得：m＝，

∴點P4的坐標為（﹣，0）．

綜上所述：點P的坐標為（﹣6，0），（﹣4，0），（16，0）或（﹣，0）．

（3）過點B作直線l的垂線，交y軸于點E，如圖2所示，

∵點B（4，），點D（0，8），

∴BD＝＝，

∵∠CDO＝∠EDB，∠DOC＝∠DBE＝90°，

∴△DOC∽△DBE，

∴，即，

∴DE＝，

∴點E的坐標為（0，﹣）．

利用待定系數法可求出直線BE的函數表達式為y＝x﹣，

設點A′的坐標為（n， n﹣），

∵A′B＝AB，

∴（4﹣n）2+[﹣（n﹣）]2＝（4﹣1）2+（﹣）2，

即n2﹣8n＝0，

解得：n1＝0，n2＝8，

∴點A′的坐標為（0，﹣）或（8，）．