Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，點F在AD上，且AF=AB，AE平分∠BAD交BC于點E，連接EF，BF，與AE交于點O．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若四邊形ABEF的周長為40，BF=10，求AE的長及四邊形ABEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE=10，四邊形ABEF的面積=50.

【解析】

（1）由平行四邊形的性質和角平分線得出∠BAE=∠AEB，證出BE=AB，由AF=AB得出BE=AF，即可得出結論．

（2）根據菱形的性質可得AB=10，AE⊥BF，BO=FB=5，AE=2AO，利用勾股定理計算出AO的長，進而可得AE的長．菱形的面積=對角線乘積的一半．

（1）證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴BE=AB，且AF=AB，

∴BE=AF，

又∵BE∥AF，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AF=AB，

∴四邊形ABEF是菱形；

（2）∵四邊形ABEF為菱形，且周長為40，BF=10

∴AB=BE=EF=AF=10，AE⊥BF，BO=FB=5，AE=2AO，

在Rt△AOB中，AO=，

∴AE=2AO=10．

∴四邊形ABEF的面積=BFAE=×10×10=50