Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點C（0,－4），與x軸交于A、B，且點B的坐標為（2,0）．

(1)求該拋物線的解析式；

(2) 若點P是AB上的一動點，過點P作PE∥AC，交BC于E,連接CP，求△PCE面積的最大值；

(3) 若點D為OA的中點，點M是線段AC上一點，且△OMD是等腰三角形，求M點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2+x－4；

（2）△PCE面積的最大值為3；

（3）M點的坐標為（－1，－3）或（－2,－2）．

【解析】試題分析：本題主要考查二次函數的圖象與性質、相似三角形的判定與性質以及等腰三角形。

（1）將點A的坐標和點B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得該拋物線的解析式。

（2）將y=0代入拋物線的解析式中，得到點A的坐標，因為PE//AC，所以∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，則△BPE∽△BAC，由相似三角形的面積比等于相似比的平方的性質求得△PCE的面積方程，即可求得△PCE面積的最大值。

（3）根據題意，分類討論△OMD為等腰三角形的情況，①當OD=DM時，因為點D為OA的中點，所以△ADM為等腰三角形，因為OA=OC，且∠AOC=90，所以△AOC為等腰直角三角形，即可求得點M的坐標。②當DM=OM時，過點M作AB的垂線交于N點，連接MN，因為MN⊥AB，由等腰三角形的性質可知，MN是△OMD的中線，所以ON=DN=1，設為y=kx+b，將點A的坐標和點C的坐標代入上式得直線AC的解析式，則將x=1代入直線AC的解析式中，即可求得點M的坐標。③當DO=OM時，OM最小為點O到AC的距離，因為△AOC為等腰直角三角形，即可證明DO=OM不成立。

試題解析：（1）把點C（0,－4），B(2,0)分別代入y=x2+bx+c中，

c=－4

×22+2b+c=0

∴b=1

∴y=x2+x－4

（2）設P點坐標為（x，0），則BP=2－x,

∵x2+x－4=0 得x1=2,x2=4

∴A點坐標為（－4，0）

∴S△ABC =AB·OC=×6×4=12

∵PE∥AC

∴∠BPE =∠BAC ，∠BEP =∠BCA

∴△BPE∽△BAC…

∴ =()2 即=

所以S△BPE = (2－x)2

又∵S△BCP = (2－x) ×4=2(2－x)

∴ S△PCE =S△BCP －S△BPE =2(2－x)－ (2－x)2 =－x2 －x+=－ (x+1)2+3

∴x=－1時△PCE面積的最大值是3．

（3）當MO=MD時，過M作MM1⊥OD,垂足為M1，則M1為OD的中點

∴OM1=DM1=1

又∵∠OAC =45°

∴M1M=M1A=3

∴M點的坐標為（－1，－3）

當DM=DO時，

DO=DM=DA=2

∴∠OAC =∠AMD=45°

∴∠ADM =90°

∴M點的坐標為（－2,－2）

當OM=OD時，過O作OM2⊥AC,垂足為M2，

∵OA =4

∴OM2=2

又OM≥OM2=2

又∵OD=2

∴OM>OD

∴在AC上不存在點M,使OM=OD

所以M點的坐標為（－1，－3）或（－2,－2）．