Question

【題目】如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，點D在BC邊上（不與B、C重合），在AC上取一點E，使∠ADE＝30°．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）若BD＝n（0＜n＜2），求線段AE的長；（用含n的代數式表示）

（3）當△ADE是等腰三角形時，請直接寫出AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE＝n2﹣n+2（0＜x＜2）；（3）AE＝4﹣2或

【解析】

（1）根據相似三角形的判定定理即可得到結論；

（2）如圖1，作高AF，根據直角三角形30°的性質求AF的長，根據勾股定理求BF的長，則可得BC的長，根據（1）中的相似列比例式可得函數關系式，并確定取值；

（3）分三種情況進行討論：

①當AD＝DE時，如圖2，由（1）可知：此時△ABD≌△DCE，則AB＝CD，即2＝2﹣x；

②當AE＝ED時，如圖3，則ED＝EC，即y＝（2﹣y）；

③當AD＝AE時，∠AED＝∠EDA＝30°，∠EAD＝120°，此時點D與點B重合，不符合題意，此情況不存在．

證明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，

∴∠ABD＝∠ACB＝30°，

∴∠ABD＝∠ADE＝30°，

∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ABD+∠DAB，

∴∠EDC＝∠DAB，

∴△ABD∽△DCE；

（2）如圖1，

∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，

過A作AF⊥BC于F，

∴∠AFB＝90°，

∵AB＝2，∠ABF＝30°，

∴AF＝AB＝1，

∴BF＝，

∴BC＝2BF＝2

則DC＝2﹣n，EC＝2﹣AE，

∵△ABD∽△DCE，

解得：AE＝n2﹣n+2（0＜x＜2）；

（3）當AD＝DE時，如圖2，

由（1）可知：此時△ABD≌△DCE，

則AB＝CD，即2＝2﹣n，

n＝2﹣2，代入AE＝n2﹣n+2

解得：AE＝

當AE＝ED時，如圖3，

∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，

∴∠DEC＝60°，∠EDC＝90°，

則ED＝EC，即AE＝（2﹣AE），

解得：AE＝，

當AD＝AE時，

∠AED＝∠EDA＝30°，∠EAD＝120°，

此時點D與點B重合，不符合題意，此情況不存在，

∴當△ADE是等腰三角形時，AE＝4﹣2或．