Question

【題目】如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，OA⊥OB，C是半徑OB上的一動點，連接AC并延長交⊙O于D，過點D作直線交OB延長線于E，且DE=CE，已知OA=8．

（1）求證：ED是⊙O的切線；

（2）當∠A=30°時，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）如圖連接OD．欲證明DE是切線，只要證明OD⊥DE即可；

（2）解直角三角形求出OC，只要證明CD=OC即可解決問題；

（1）證明：如圖連接OD．

∵OA=OD，∴∠A=∠ODA．

∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠A+∠ACO=90°．

∵ED=EB，∴∠EDB=∠EBD=∠ACO，∴∠ODA+∠EDC=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線．

（2）在Rt△AOC中，∵OA=8，∠A=30°，∴OC=OAtan30°=．

∵OA=OD，∴∠ODA=∠A=30°，∠DOA=120°，∠DOC=30°，∴∠DOC=∠ODC=30°，∴CD=OC=．