Question

【題目】 ⑴如圖，在正方形中，點(diǎn)分別在上，于點(diǎn)，求證；

⑵如圖，將⑴中的正方形改為矩形，于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）AB=BC，見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得∠ABC與∠C的關(guān)系，AB與BC的關(guān)系，根據(jù)兩直線垂直，可得∠AMB的度數(shù)，根據(jù)直角三角形銳角的關(guān)系，可得∠ABM與∠BAM的關(guān)系，根據(jù)同角的余角相等，可得∠BAM與∠CBF的關(guān)系，根據(jù)ASA，可得△ABE≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠ABC=∠C，由余角的性質(zhì)得到∠BAM=∠CBF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

試題解析（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．

∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，

∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．

在△ABE和△BCF中，，

∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；

（2）解：AB=BC，

理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，

∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，

∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，

∴，∴AB=BC．