Question

【題目】點P到圖形Ω（可以是線段、三角形、圓或不規則圖形等）的距離是指:點P與圖形Ω中所有點連接的線段中最短線段的長度.如圖①中的兩個虛線段PQ的長度都表示點P到圖形Ω的距離.

如圖②，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的三個頂點坐標分別為，點P從原點出發，以每秒1個單位長度的速度向x軸的正方向運動了t秒.

（1）當t=0時，求點P到△ABC的距離；

（2）當點P到△ABC的距離等于線段AP的長度時，求t的范圍；

（3）當點P到△ABC的距離大于時，求t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，P到△ABC的距離等于線段PA的長度；（3）當t>5時，點P到△ABC的距離大于

【解析】

（1）作AM⊥BC，ON⊥AB，根據A、B、C三點的坐標求出△AMB為等腰直角三角形，繼而求出∠OBN=45°，即可得到ON的長度；

（2）過點A分別作AB與AC的垂線，與x軸分別交于點D、E，當P運動到D、E之間時，P到△ABC的距離等于PA的長度，求得AD、AE的長度即可得到取值范圍；

（3）由（1）可知P點只能在E點右側，作PG⊥AC，作GH⊥x軸，利用三角形相似求出G點的橫坐標為4，且HP=2FE=1，由此求出t的取值范圍.

（1）作AM⊥BC，ON⊥AB，

由得BC∥x軸，

∴AM=BM=2

∴△AMB為等腰直角三角形，∠ABM=45°

∴∠OBN=45°

∴

（2）作AF⊥x軸，過點A分別作AB與AC的垂線，與x軸分別交于點D、E

當P運動到D、E之間時，P到△ABC的距離等于PA的長度

△ADF中，∠ADF=45° DF=AF=1，故點D橫坐標為1

∵△AFE~△CMA

∴

∴FE=，故點E的橫坐標為

∴當時，P到△ABC的距離等于線段PA的長度

（3）直線AC的方程為

∵，P點只能在E點右側，

作PG⊥AC，作GH⊥x軸

△AFE~△GHP

故GH=2，又直線AC的方程為

當y=2時， 得x=4，

∴G點的橫坐標為4，且HP=2FE=1

故點P的橫坐標為5

當t>5時，點P到△ABC的距離大于