Question

【題目】已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中點(diǎn)，連接AE、AC．

（1）點(diǎn)F是DC上一點(diǎn)，連接EF，交AC于點(diǎn)O（如圖1），求證：△AOE∽△COF；

（2）若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接BD，交AE與點(diǎn)G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明：∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC=2AD，

∴EC=BE=BC=AD，

又∵AD∥DC，

∴四邊形AECD為平行四邊形，

∴AE∥DC，

∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，

∴△AOE∽△COF；

（2）證明：連接DE，

∵DE平行且等于BE，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

又∠ABE=90°，

∴□ABED是矩形，

∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，

∴E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，

∴EF、GE是△CBD的兩條中線，

∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，

又GE=GD，

∴EF=GD=GE=DF，

∴四邊形EFDG是菱形．

【解析】略