Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D在射線BC上（與B、C兩點不重合），以AD為邊作正方形ADEF，使點E與點B在直線AD的異側，射線BA與射線CF相交于點G．
（1）若點D在線段BC上，如圖1．

①依題意補全圖1；
②判斷BC與CG的數量關系與位置關系，并加以證明；
（2）若點D在線段BC的延長線上，且G為CF中點，連接GE，AB= ，則GE的長為 ，并簡述求GE長的思路．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：①依題意補全圖形，如圖1所示，

②BC⊥CG，BC=CG；

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，

∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=45°，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴BC⊥CG；

∵點G是BA延長線上的點，

BC=CG

（2）

如圖2，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=90°，

∠DAF=∠CAF﹣∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=45°，BD=CF，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴BC⊥CF；

∵AB= ，BC=CD=CG=GF=2，

∴在Rt△AGH中，根據勾股定理得，AG= ，

∴在Rt△AGH中，根據勾股定理的，DG=2 ，

∵AD= ，

∴AH= ，HG= ，

∴GI=AD﹣HG= ，

∴GE= =

故答案為

【解析】（1）①依題意補全圖形，如圖1所示，②判斷出△BAD≌△CAF即可；（2）先判斷出△BAD≌△CAF，得到BD=CF，BG⊥CF，得到直角三角形，利用勾股定理計算即可．