Question

【題目】探究題
（1）問題發現
如圖1，△ABC和△BDE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接CD．填空；

①CDB的度數為；
②線段AE，CD之間的數量關系為 ．
（2）拓展探究
如圖2，△ABC和△DBE均為等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，點A，D，E在同一直線上，BF為△DBE中DE邊上的高，連接CD．
①求∠CDB的大小；
②請判斷線段BF，AD，CD之間的數量關系，并說明理由．
（3）解決問題
如圖3，在正方形ABCD中，AC=2 ，AE=1，CE⊥AE于E，請補全圖形，求點B到CE的距離．

Answer 1

【答案】
（1）60°；AE=CD
（2）

解：∠CDB=45°，CD=AD+2BF

理由：∵△ACB和△DBE均為等腰直角三角形，

∴BA=CB，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°．

∴∠ABE=∠CBD．

在△BCD和△BAE中，

∵AB=BC，∠ABE=∠CBD，BD=BE，

∴△BCD≌△BAE（SAS），

∴∠CDB=∠AEB，CD=AE

∵BF是△DBE均為等腰直角三角形，

∴∠CDB=∠AEB=45，DE=2BF，

∴CD=AE=AD+DE=AD+2BF．

∴∠CDB=45°，CD=AD+2BF

（3）

解：①如圖，

連接EB，ED，作BH⊥CE，BP⊥BE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=45°，AB=AD=CD=BC=2，∠ABC=90°，

∴CD=2，

∴AC=2 ，

∵AE=1，

∴CE= ，

∵A，E，B，C四點共圓，

∴∠BCE=∠CAB=45°，

∴△PBE是等腰直角三角形，

∵△ABC是等腰直角三角形，且C，E，P共線，BH⊥CE，

∴由（2）的結論可得，CE=AE+2BH，

∴ =2BH+1，

∴BH= ．

②同①的方法可得，CE=2BH﹣AE，

∴ =2BH﹣1，

∴BH= ，

∴點B到CE的距離為 或

【解析】解：（1）①∵△ACB和△DBE均為等邊三角形，
∴BA=CB，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°．
∴∠ABE=∠CBD．
在△BCD和△BAE中，
∵AB=BC，∠ABE=∠CBD，BD=BE，
∴△BCD≌△BAE（SAS），
∴∠CDB=∠BEA．
∵△DBE為等邊三角形，
∴∠CDB=∠BED=60°．
所以答案是：60°．
②∵△BCD≌△BAE，
∴CD=AE，
所以答案是：CD=AE，
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的性質的相關知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．