Question

13．如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=8，BC=12，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PCA=∠PBC，則線段AP長的最小值為4．

Answer 1

分析 利用∠PCA=∠PBC得∠PBC+∠PCB=90°，則∠BPC=90°，根據圓周角定理的推論可判定點P在以BC為直角的⊙O上，連接OA交⊙O于P，此時PA的長最小，然后利用勾股定理計算出OA即可得到PA長的最小值．

解答 解：∵∠PCA=∠PBC，
而∠PCA+∠PCB=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠BPC=90°，
∴點P在以BC為直角的⊙O上，
連接OA交⊙O于P，此時PA的長最小，
∵OA=$\sqrt{A{C}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴PA長的最小值為10-6=4．
故答案為4．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質：解決本題的關鍵是確定點P在以BC為直角的⊙O上，從而利用兩點之間線段最短解決問題．