Question

【題目】如圖，矩形紙片ABCD，DC＝8，AD＝6.

(1)如圖(1)，點E在邊AD上且AE＝2，以點E為頂點作正方形EFGH，頂點F，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD上，連接CG，求∠HCG的度數；

(2)請從A、B兩題中任選一題解答，我選擇_____.

A.如圖(2)，甲同學把矩形紙片ABCD的四個角向內折起，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形MPNQ，判斷并說明四邊形MPNQ的形狀.

B.如圖(3)，乙同學把(1)中的“正方形EFGH”改為“菱形EFGH”，其余條件不變，此時點G落在矩形ABCD的外部，已知△CGH的面積是4，求菱形EFGH的邊長及面積.

Answer 1

【答案】(1)∠HCG= 45°；(2)A：四邊形MPNQ的形狀是矩形，證明見解析；B：菱形EFGH的邊長及面積分別為4和8+8.

【解析】

（1）先根據條件判定△AFE≌△DEH≌△KHG，得出AE=DH=GK=2，DE=HK，進而得出GK=CK，即△CGK為等腰直角三角形，據此得出∠HCG的度數；

（2）①若選A題，則根據折疊的性質，求得∠PMQ=∠PME+∠QME=1212∠DME+1212∠AME=1212∠AMD=90°，同理可得，∠MQN=90°，∠PNQ=90°，進而得出四邊形MPNQ的形狀是矩形；

②若選B題，則需要連接HF，過G作GP⊥CD的延長線于P，再根據矩形和菱形的性質，判定△AEF≌△PGH（AAS），得出PG=AE=2，再根據△CGH的面積是4，求得CH的長，進而在Rt△DEH中，根據勾股定理得出EH，即得出菱形EFGH的邊長，最后根據菱形EFGH的面積=2×△EFH的面積=2×（四邊形ADHF的面積-△DEH的面積-△AEF的面積），進行計算求解即可．

(1)過點G作GK⊥CD于點K，

∵四邊形ABCD為矩形，DC＝8，AD＝6，

∴∠A＝∠D＝∠HKG＝90°，

∵四邊形EFGH為正方形，

∴∠FEH＝∠EHG＝90°，EF＝EH＝HG，

∴∠AFE＝∠DEH＝∠KHG，

∴△AFE≌△DEH≌△KHG，

∴AE＝DH＝GK＝2，DE＝HK，

∵DC＝8，AD＝6，

∴CK＝DC﹣DH＝8﹣6＝2，

∴GK＝CK，

∴∠KCG＝∠CGK＝45°，即∠HCG的度數是45°；

(2)選A題，四邊形MPNQ的形狀是矩形.證明：如圖2，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，

∵DM與EM重合，AM與EM重合，

∴PM平分∠DME，QM平分∠AME，

∴∠PMQ＝∠PME+∠QME＝∠DME+∠AME＝∠AMD＝90°，

同理可得，∠MQN＝90°，∠PNQ＝90°，

∴四邊形MPNQ的形狀是矩形.

選B題，如圖3，連接HF，過G作GP⊥CD的延長線于P，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∠A＝∠D＝90°，∴∠AFH＝∠PHF，

∵四邊形EFGH為菱形，

∴EF∥HG，EF＝HG，

∴∠1＝∠2，

∴∠AFE＝∠PHG，

又∵GP⊥DP，

∴∠P＝∠A＝90°，

∴△AEF≌△PGH(AAS)，

∴PG＝AE＝2，

∵△CGH的面積是4，

∴×HC×PG＝4，

∴HC＝4，

∵CD＝8，AD＝6，AE＝2，

∴DH＝8﹣4＝4，DE＝6﹣2＝4，

∴Rt△DEH中，EH＝4，

∴EF＝4，即菱形EFGH的邊長為4，

∴Rt△AEF中，AF＝2，

∴菱形EFGH的面積＝2×△EFH的面積

＝2×(四邊形ADHF的面積﹣△DEH的面積﹣△AEF的面積)

＝2×[(DH+AF)×AD﹣×DH×ED﹣×AE×AF]

＝8+8.

∴菱形EFGH的邊長及面積分別為4和8+8.