Question

【題目】（1）探究：如圖1和2，四邊形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，點E、F分別在BC、CD上，∠EAF=45°．

①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，使AB與AD重合，則能證得EF=BE+DF，請寫出推理過程；

②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足數量關系 時，仍有EF=BE+DF；

（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）①理由詳見解析；②∠B+∠ADC=180°；（2）．

【解析】

試題分析：（1）①把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFG≌△AFE，根據全等三角形的性質得出EF=FG，即可得出答案；

②把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE≌△AFG，根據全等三角形的性質得出EF=FG，即可得出答案；

（2）把△ACE旋轉到ABF的位置，連接DF，證明△AFE≌△AFG（SAS），則EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根據勾股定理得到BD2+CE2=DE2

，由∠BAC=90°，AB=AC=2，知BC=4，所以DC=3，EC=3﹣DE，代入解方程即可．

試題解析：解：（1）①理由是：如圖1，

∵AB=AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖1，

∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，

則∠DAG=∠BAE，AE=AG，

∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°﹣45°=45°=∠EAF，

即∠EAF=∠FAG，

在△EAF和△GAF中，AF=AF，∠EAF=∠FAG，AE=AG，

∴△AFG≌△AFE（SAS），

∴EF=FG=BE+DF；

②當∠B+∠ADC=180°時，EF=BE+DF；

∵AB=AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖2，

∴∠BAE=∠DAG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC+∠B=180°，

∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，

在△AFE和△AFG中，AF=AF，∠EAF=∠FAG，AE=AG，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF=FG，

即：EF=BE+DF，

故答案為：∠B+∠ADC=180°；

（2）把△ACE旋轉到ABF的位置，連接DF，則∠FAB=∠CAE．

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠CAE=45°，

又∵∠FAB=∠CAE，

∴∠FAD=∠DAE=45°，

則在△ADF和△ADE中，AD=AD，∠FAD=∠DAE，AF=AE，

∴△ADF≌△ADE，

∴DF=DE，∠C=∠ABF=45°，

∴∠BDF=90°，

∴△BDF是直角三角形

∴BD2+BF2=DF2，

∴BD2+CE2=DE2．

∵∠BAC=90°，AB=AC=2，

∴BC=4，

∵BD=1，

∴DC=3，EC=3﹣DE，

∴1+（3﹣DE）2=DE2，

解得：DE=．