Question

【題目】已知，在等腰△ABC中，AB=AC，F為AB邊上的中點，延長CB至D，使得BD=BC，連接AD交CF的延長線于E．

（1）如圖1，若∠BAC=60°，求證：△CED為等腰三角形

（2）如圖2，若∠BAC≠60°，（1）中結論還成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由．

（3）如圖3，當 =　 　是（直接填空），△CED為等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立．理由見解析；（3）．

【解析】試題分析：（1）如圖1，先證明△ABC為等邊三角形得到∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC，再證明∠D=∠DCE=30°，然后根據等腰三角形的判定定理得到△CED為等腰三角形；

（2）延長CF到M使FM=CF，連接AM，如圖2，先證明△AMF≌△BCF得到AM=BC，∠M=∠BCF，再證明△AMC≌△BDA得到∠M=∠D，所以∠D=∠DCE，于是可判斷△CED為等腰三角形；

（3）作BH⊥CE于H，連接BE，如圖3，由（2）得△CED為等腰三角形，當∠BCE=45°時，△CED為等腰直角三角形，則EB⊥CD，設BH=x，則CH=EH=x，BC=x，易證得△AEF≌△BHF，則EF=HF=HE=x，再利用勾股定理計算出BF=x，所以AB=2BF=x，然后計算出的值．

試題解析：（1）如圖1，

∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC，

而BC=BD，∴AB=BD，∴∠D=∠BAD，

而∠ABC=∠D+∠BAD，∴∠D=30°，

∵F點AB的中點，∴CF平分∠ACB，∴∠ACE=∠DCE=30°，∴∠D=∠DCE，

∴△CED為等腰三角形；

（2）成立．

延長CF到M使FM=CF，連接AM，如圖2，

在△AMF和△BCF中 ，∴△AMF≌△BCF，∴AM=BC，∠M=∠BCF，

∵BC=BD，∴AM=BD，

∵∠M=∠BCF，∴AM∥CD，∴∠MAC+∠ACB=180°，

而∠DBA+∠ABC=180°，∠ABC=∠ACB，∴∠MAC=∠DBA，

在△AMC和△BDA中 ，∴△AMC≌△BDA，∴∠M=∠D，∴∠D=∠DCE，

∴△CED為等腰三角形；

（3）作BH⊥CE于H，連接BE，如圖3，

由（2）得△CED為等腰三角形，當∠BCE=45°時，△CED為等腰直角三角形，

∴EB⊥CD，

設BH=x，則CH=EH=x，BC=x，易證得△AEF≌△BHF，則EF=HF=HE=x，

在△BFH中，BF= =x，∴AB=2BF=x，∴==．

故答案為．