Question

如圖拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-1），且對稱軸x=1。

（1）求出拋物線的解析式及A、B兩點的坐標；
（2）在x軸下方的拋物線上是否存在點D，使四邊形ABDC的面積為3，若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由（使用圖1）；
（3）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點P的坐標（使用圖2）。

Answer 1

解：（1）∵拋物線與y軸交于點C（0，-1），且對稱軸x=1， ∴，解得：， ∴拋物線解析式為y=x2-x-1，令x2-x-1=0，得：x1=-1，x2=3， ∴A（-1，0），B（3，0）； （2）設在x軸下方的拋物線上存在D（a，a2-a-1）（0＜a＜3）使四邊形ABCD的面積為3， 作DM⊥x軸于M，則S四邊形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD， ∴S四邊形ABCD=|xAyC|+（|yD|+|yC|）xM+（xB-xM）|yD| =×1×1+[-（a2-a-1）+1]×a+（3-a）[-（a2-a-1）] =-a2+a+2， ∴由-a2+a+2=3，解得：a1=1，a2=2， ∴D的縱坐標為：a2-a-1=-或-1， ∴點D的坐標為（1，），（2，-1）； （3）①當AB為邊時，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知點Q在y軸上，所以點P的橫坐標為-4或4， 當x=-4時，y=7；當x=4時，y=； 所以此時點P1的坐標為（-4，7），P2的坐標為（4，）； ②當AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，線段AB中點為G，PQ必過G點且與y軸交于Q點，過點P作x軸的垂線交于點H，可證得△PHG≌△QOG， ∴GO=GH， ∵線段AB的中點G的橫坐標為1， ∴此時點P橫坐標為2，由此當x=2時，y=-1， ∴這是有符合條件的點P3（2，-1）， ∴所以符合條件的點為：P1的坐標為（-4，7），P2的坐標為（4，）；P3（2，-1）。