Question

如圖拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0．）．且對稱抽x=l．

（1）求出拋物線的解析式及A、B兩點的坐標；

（2）在x軸下方的拋物線上是否存在點D，使四邊形ABDC的面積為3．若存在，求出點D的坐標；若不存在．說明理由（使用圖1）；

（3）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點P的坐標（使用圖2）．

 

 

 

Answer 1

解：（1）∵拋物線與y軸交于點C（0．-1）．且對稱抽x=l．

∴ ，解得： ，

∴拋物線解析式為y= x²- x-1，

令 x²- x-1=0，得：x₁=-1，x₂=3，

∴A（-1，0），B（3，0），

 

（2）設在x軸下方的拋物線上存在D（a， ）（0＜a＜3）使四邊形ABCD的面積為3．

作DM⊥x軸于M，則S_{四邊形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OCDM+S_△BMD，

∴S_{四邊形ABCD}= |x_Ay_C|+ （|y_D|+|y_C|）x_M+ （x_B-x_M）|y_D|

= ×1×1+ [-（ a²- a-1）+1]×a+ （3-a）[-（a²- a-1）]

=- a²+ +2，

∴由- a²+ +2=3，

解得：a ₁=1，a ₂=2，

∴D的縱坐標為： a²- a-1=- 或-1，

∴點D的坐標為（1， ），（2，-1）；

 

（3）①當AB為邊時，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知點Q在y軸上，所以點P的橫坐標為-4或4，

當x=-4時，y=7；當x=4時，y= ；

所以此時點P₁的坐標為（-4，7），P₂的坐標為（4， ）；

②當AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，線段AB中點為G，PQ必過G點且與y軸交于Q點，過點P作x軸的垂線交于點H，

可證得△PHG≌△QOG，

∴GO=GH，

∵線段AB的中點G的橫坐標為1，

∴此時點P橫坐標為2，

由此當x=2時，y=-1，

∴這是有符合條件的點P ₃（2，-1），

∴所以符合條件的點為：P₁的坐標為（-4，7），P₂的坐標為（4， ）；P ₃（2，-1）．

 

解析:略