Question

【題目】如圖①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在邊AD、AF上，此時BD=CF,BD⊥CF成立.

（1）當△ABC繞點A逆時針旋轉 時，如圖②，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（2）當△ABC繞點A逆時針旋轉45°時，如圖③，延長DB交CF于點H；

（ⅰ）求證：BD⊥CF；

（ⅱ）當AB=2，AD=時，求線段DH的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；② .

【解析】試題分析：（1）根據旋轉變換的性質和全等三角形的判定定理證明

≌證明結論；
（2）①根據全等三角形的性質、垂直的定義證明即可；
②連接DF，延長AB交DF于M，根據題意和等腰直角三角形的性質求出DM、BM的長，根據勾股定理求出BD的長，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可得到答案．

試題解析：(1)BD=CF.

理由如下：由題意得，∠CAF=∠BAD= ，

在△CAF和△BAD中，

∴△CAF≌△BAD，

∴BD=CF；

(2)①由(1)得△CAF≌△BAD，

∴∠CFA=∠BDA，

，即BD⊥CF；

②連接DF，延長AB交DF于M，

∵四邊形ADEF是正方形,

∴AM=DM=3，BM=AMAB=1，

∵△ABC繞點A逆時針旋轉，

∴∠BAD=，

∴AM⊥DF，

又

∴△DMB∽△DHF，

即

解得,