Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E在BC邊上，且BE：EC＝1：3．動點P從點B出發，沿BA運動到點A停止．過點E作EF⊥PE交邊AD或CD于點F，設M是線段EF的中點，則在點P運動的整個過程中，點M運動路線的長為__________．

Answer 1

【答案】9.

【解析】

過點M作GH⊥AD，證明△EGM≌△FHM，得到MG=MH，從而可知：點M的軌跡是一條平行于BC的線段，然后證明△EF1A∽△∠EF1F2，求得F1F2=18，最后根據三角形中位線定理可求得答案．

解：∵AD∥CB，GH⊥AD，
∴GH⊥BC．
在△EGM和△FHM中，

∴△EGM≌△FHM．
∴MG=MH．
∴點M的軌跡是一條平行于BC的線段．
當點P與B重合時，AF1=BE=2，
當點P與點A重合時，∠F2+∠EAF1=90°，∠AEF1+∠EAF1=90°，
∴∠F2=∠AEF1．
∵∠EF1A=∠EF1F2，
∴△EF1A∽△∠F2F1E．

∴，

∴，

∴=18，

∵M1M2是△EF1F2的中位線，
∴M1M2=F1F2=9．
故答案為：9．