Question

【題目】已知，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax（a＞0）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于點(diǎn)O、A，關(guān)于x的一次函數(shù)y＝﹣ax（a＞0）．

（1）試說明點(diǎn)C在一次函數(shù)的圖象上；

（2）若兩個(gè)點(diǎn)（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）都在二次函數(shù)的圖象上，是否存在整數(shù)k，滿足？如果存在，請(qǐng)求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若點(diǎn)E是二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)是n，且﹣1≤n≤1，過點(diǎn)E作y軸的平行線，與一次函數(shù)圖象交于點(diǎn)F，當(dāng)0＜a≤2時(shí)，求線段EF的最大值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）存在．整數(shù)k的值為±4．（3）EF的最大值是4．

【解析】

（1）先求出二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a頂點(diǎn)C（1，﹣a），當(dāng)x＝1時(shí)，一次函數(shù)值y＝﹣a所以點(diǎn)C在一次函數(shù)y＝﹣ax的圖象上；

（2）存在．將點(diǎn)（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）代入二次函數(shù)解析式，用a、k表示出y1、y2，因?yàn)闈M足,把y1、y2代入整理可得關(guān)于k的方程，解方程檢驗(yàn)即可求得k的值.

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)﹣1≤n≤0時(shí)，EF＝yE﹣yF＝an2﹣2an﹣（﹣an）＝②當(dāng)0＜n≤1時(shí)，EF＝yF﹣yE＝﹣an﹣（an2﹣2an）＝

（1）∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，

∴頂點(diǎn)C（1，﹣a），

∵當(dāng)x＝1時(shí)，一次函數(shù)值y＝﹣a

∴點(diǎn)C在一次函數(shù)y＝﹣ax的圖象上；

（2）存在．

∵點(diǎn)（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）都在二次函數(shù)的圖象上，

∴y1＝ak2﹣2ak，y2＝a（k+2）2﹣2a（k+2），

∵滿足

∴，

整理，得 ，

∴

∴，

解得k＝±4，

經(jīng)檢驗(yàn)：k＝±4是原方程的根，

∴整數(shù)k的值為±4．

（3）∵點(diǎn)E是二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，

∴E（n，an2﹣2an），

∵EF∥y軸，F在一次函數(shù)圖象上，∴F（n，﹣an）．

①當(dāng)﹣1≤n≤0時(shí)，EF＝yE﹣yF＝an2﹣2an﹣（﹣an）＝

∵a＞0，

∴當(dāng)n＝﹣1時(shí)，EF有最大值，且最大值是2a，

又∵0＜a≤2，

∴0＜2a≤4，即EF的最大值是4；

②當(dāng)0＜n≤1時(shí)，EF＝yF﹣yE＝﹣an﹣（an2﹣2an）＝此時(shí)EF的最大值是 ，

又∵0＜a≤2，

∴0＜ ≤ ，即EF的最大值是；

綜上所述，EF的最大值是4．