Question

【題目】如圖1，拋物線的頂點為C（1，4），交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，其中點B的坐標為（3，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點E是BD上方拋物線上的一點，連接AE交DB于點F，若AF=2EF，求出點E的坐標．

（3）如圖3，點M的坐標為（，0），點P是對稱軸左側拋物線上的一點，連接MP，將MP沿MD折疊，若點P恰好落在拋物線的對稱軸CE上，請求出點P的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E（2，3）或（1，4）；（3）P點橫坐標為

【解析】

(1) 拋物線的頂點為C（1，4），設拋物線的解析式為，由拋物線過點B,（3，0），即可求出a的值，即可求得解析式；

（2）過點E、F分別作x軸的垂線，交x軸于點M、N，設點E的坐標為，求出A、D點的坐標，得到OM=x，則AM=x+1，由AF=2EF得到，從而推出點F的坐標，由，列出關于x的方程求解即可；

（3）先根據待定系數法求出直線DM的解析式為y=-2x+3，過點P作PT∥y軸交直線DM于點T，過點F作直線GH⊥y軸交PT于點G，交直線CE于點H.證明△FGP≌△FHQ，得到FG=FH，PT=GH.設點P（m，-m+2m+3），則T（m，-2m+3），則PT=m-4m，GH=1-m，可得m-4m=（1-m），解方程即可.

（1）∵拋物線的頂點為C（1，4），

∴設拋物線的解析式為，

∵拋物線過點B,（3，0），

∴，

解得a=-1，

∴設拋物線的解析式為，

即；

（2）如圖，過點E、F分別作x軸的垂線，交x軸于點M、N，設點E的坐標為，

∵拋物線的解析式為，

當y=0時，，

解得x=-1或x=3，

∴A（-1.0），

∴點D（0,3），

∴過點BD的直線解析式為，點F在直線BD上，

則OM=x，AM=x+1，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得x=1或x=2，

∴點E的坐標為（2，3）或（1，4）；

（3）設直線DM的解析式為y=kx+b，過點D（0,3），M（，0），

可得，，

解得k=-2，b=3，

∴直線DM的解析式為y=-2x+3，

∴，，

∴tan∠DMO=2，

如圖，過點P作PT∥y軸交直線DM于點T，過點F作直線GH⊥y軸交PT于點G，交直線CE于點H.

∵PQ⊥MT，

∴∠TFG=∠TPF，

∴TG=2GF，GF=2PG，

∴PT=GF，

∵PF=QF，

∴△FGP≌△FHQ，

∴FG=FH，

∴PT=GH.

設點P（m，-m+2m+3），則T（m，-2m+3），

∴PT=m-4m，GH=1-m，

∴m-4m=（1-m），

解得：，或（不合題意，舍去），

∴點P的橫坐標為.