Question

【題目】四邊形的一條對角線將這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三角形相似(不全等)，那么我們將這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線．

(1)如圖1，四邊形ABCD中，∠DAB＝100°，∠DCB＝130°，對角線AC平分∠DAB，求證：AC是四邊形ABCD的相似對角線；

(2)如圖2，直線分別與x，y軸相交于A，B兩點，P為反比例函數y＝(k＜0)上的點，若AO是四邊形ABOP的相似對角線，求反比例函數的解析式；

(3)如圖3，AC是四邊形ABCD的相似對角線，點C的坐標為(3，1)，AC∥x軸，∠BCA＝∠DCA＝30°，連接BD，△BCD的面積為．過A，C兩點的拋物線y＝ax2+bx+c(a＜0)與x軸交于E，F兩點，記|m|＝AC+1，若直線y＝mx與拋物線恰好有3個交點，求實數a的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y＝﹣或y＝﹣或y＝﹣或y＝﹣；（3）a＝﹣或﹣．

【解析】

（1）如圖1，設∠ACD＝α，則∠ACB＝130°﹣α，則∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣（130°﹣α）＝α，即可求解；

（2）分∠APO為直角、∠OAP為直角兩種情況，分別求解即可；

（3）CH＝BC，則BH＝BC，△BCD的面積＝CDBH＝CD×HB＝，故CDBC＝4，而△BAC∽△ACD，故CD2＝BCCD＝4，故CD＝2，則點A（1，1），則拋物線的表達式為：y＝ax2+（4a+3）x+3a+1，AC＝1，則m＝±3，故直線的表達式為：y＝±3x，直線y＝﹣3x與拋物線有兩個交點，而直線y＝mx與拋物線恰好有3個交點，則直線y＝3x與拋物線有一個交點，即可求解．

解：（1）如圖1，設∠ACD＝α，則∠ACB＝130°﹣α，

∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣（130°﹣α）＝α，

在△ABC和△ACD中，∠B＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，

∴△ABC∽△ACD，

∴AC是四邊形ABCD的相似對角線；

（2）①當∠APO為直角時，

當∠OAP＝30°時，

過點P作PH⊥x軸于點H，

設OH＝x，則HP＝x，HA＝3x，則x+3x＝4，

解得：x＝1，故點P（1，﹣），故k＝﹣；

當∠AOP＝30°時，

同理可得：k＝﹣3；

②當∠OAP為直角時，

當∠OPA＝30°時，

點P（4，﹣4），k＝﹣16；

當∠AOP＝30°時，OA＝AO，∠OAP＝∠AOB＝90°，∠AOP＝∠OAB＝30°

∴△OAP≌△AOB，不符合相似對角線的定義，故舍去；

綜上，反比例函數的表達式為：y＝﹣或y＝﹣或y＝﹣；

（3）如圖3，過點B作BH⊥CD于點H，則∠CBH＝60°﹣∠BCD＝30°，

故CH＝BC，則BH＝BC，

△BCD的面積＝CDBH＝CD× BC＝，故CDBC＝4

而△BAC∽△ACD，故CA2＝BCCD＝4，故CA＝2，

則點A（1，1），而點C（3，1），

將點A、C的坐標代入拋物線表達式并解得：

拋物線的表達式為：y＝ax2﹣4ax+3a+1，

AC＝2，則m＝±3，

故直線的表達式為：y＝±3x，

直線y＝﹣3x與拋物線有兩個交點，而直線y＝mx與拋物線恰好有3個交點，

則直線y＝3x與拋物線有一個交點，

聯立直線y＝3x于拋物線的表達式并整理得：ax2﹣（4a+3）x+3a+1＝0，

△＝（4a+3）2﹣4a（3a+1）＝0，

解得：a＝﹣或﹣．