Question

8．如圖，拋物線y=ax²+c（a＞0）經過梯形ABCD的四個頂點，梯形的底AD在x軸上，其中A（-2，0），B（-1，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M為y軸上任意一點，當點M到A、B兩點的距離之和為最小時，求此時點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）將A、B點的坐標代入拋物線的解析式中即可求出待定系數的值；
（2）由于A、D關于拋物線對稱軸即y軸對稱，那么連接BD，BD與y軸的交點即為所求的M點，可先求出直線BD的解析式，即可得到M點的坐標．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=0}\\{a+c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-4}\end{array}\right.$；
∴拋物線的解析式為：y=x²-4；

（2）由于A、D關于拋物線的對稱軸（即y軸）對稱，連接BD．
則BD與y軸的交點即為M點；
設直線BD的解析式為：y=kx+b（k≠0），則有：
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-3}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$；
∴直線BD的解析式為y=x-2，點M（0，-2）．

點評 此題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點及圖形面積的求法，軸對稱的性質等知識的綜合應用能力．