Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，且∠ABC＝60°，AB＝AC，△ADC的外接圓⊙O交BC于點E，連接DE并延長交AB延長線于點F.

(1)求證：CF＝DB；

(2)當AD＝時，求AB的長．

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】

（1）連結AE，由∠ABC=60°，AB=BC可判斷△ABC為等邊三角形，由AB∥CD，∠DAB=90°得∠ADC=∠DAB=90°，則根據圓周角定理可得到AC為⊙O的直徑，則∠AEC=90°，即AE⊥BC，根據等邊三角形的性質得BE=CE，再證明△DCE≌△FBE，得到DE=FE，于是可判斷四邊形BDCF為平行四邊形，根據平行四邊形的性質得CF=DB；

（2）作EH⊥CF于H，由△ABC為等邊三角形得∠BAC=60°，則∠DAC=30°，在Rt△ADC中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得DC=AD=1，AC=2CD=2.

則AB=AC=2

（1）證明：連結AE，如圖，

∵∠ABC=60°，AB=BC，

∴△ABC為等邊三角形，

∵AB∥CD，∠DAB=90°，

∴∠ADC=∠DAB=90°，

∴AC為⊙O的直徑，

∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，

∴BE=CE，

CD∥BF，

∴∠DCE=∠FBE，

在△DCE和△FBE中，

，

∴△DCE≌△FBE（ASA），

∴DE=FE，

∴四邊形BDCF為平行四邊形，

∴CF=DB；

（2）解：作EH⊥CF于H，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=60°，

∴∠DAC=30°，

在Rt△ADC中，AD=，

∴DC=AD=1，AC=2CD=2，

∴AB=AC=2.