Question

【題目】如圖1，一張矩形紙片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿對角線BD對折，點C落在點C′的位置，BC′交AD于點G．
（1）求證：AG=C′G；
（2）如圖2，再折疊一次，使點D與點A重合，得折痕EN，EN交AD于點M，求EM的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵沿對角線BD對折，點C落在點C′的位置，

∴∠A=∠C′，AB=C′D

∴在△GAB與△GC′D中，

∴△GAB≌△GC′D

∴AG=C′G

（2）解：∵點D與點A重合，得折痕EN，

∴DM=4cm，

∵AD=8cm，AB=6cm，

在Rt△ABD中，BD= =10cm，

∵EN⊥AD，AB⊥AD，

∴EN∥AB，

∴MN是△ABD的中位線，

∴DN= BD=5cm，

在Rt△MND中，

∴MN= =3（cm），

由折疊的性質可知∠NDE=∠NDC，

∵EN∥CD，

∴∠END=∠NDC，

∴∠END=∠NDE，

∴EN=ED，設EM=x，則ED=EN=x+3，

由勾股定理得ED2=EM2+DM2，即（x+3）2=x2+42，

解得x= ，即EM= cm．

【解析】（1）通過證明△GAB≌△GC′D即可證得線段AG、C′G相等；（2）在直角三角形DMN中，利用勾股定理求得MN的長，則EN﹣MN=EM的長．
【考點精析】關于本題考查的矩形的性質和翻折變換（折疊問題），需要了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等才能得出正確答案．