Question

【題目】如果拋物線的頂點在拋物線上，同時，拋物線的頂點在拋物線上，那么我們稱拋物線與關聯.

（1）已知拋物線：與：，請判斷拋物線 與拋物線是否關聯，并說明理由.

（2）拋物線，動點的坐標為，將拋物線繞點旋轉180°得到拋物線，若拋物線與關聯，求拋物線的解析式.

（3）點為拋物線：的頂點，點為拋物線關聯的拋物線的頂點，是否存在以為斜邊的等腰直角三角形ABC，使其直角頂點在直線上？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）M在C上，M在C上；（2），；（3）

【解析】

（1）C：頂點坐標M（1，5），當x=1時，y=2x2+4x-1=5，故拋物線C1頂點在C2的拋物線上，即可求解；

（2）求出C2頂點坐標為（9+2t，-2），將該頂點坐標代入C1的函數表達式得：-2=-（9+2t+9）2+6，即可求解；

（3）設點C（-10，n），點B（-1，-2）或（-17，-2），點A（-9，6），以AB為斜邊的等腰直角三角形ABC，則AC2=BC2且AC2+BC2=AB2，即可求解．

（1）C：頂點坐標M（1，5），

當x=1時，y=2x2+4x-1=5，故拋物線C1頂點在C2的拋物線上；

C：頂點坐標M（-1，-3），

同理可得：拋物線C2頂點在C1的拋物線上，

故：拋物線C1與拋物線C2相互關聯；

（2）C1拋物線頂點坐標為：（-9，6），點P的坐標為（t，2），

由中點公式得：C2頂點坐標為（9+2t，-2），

將該頂點坐標代入C1的函數表達式得：-2=-（9+2t+9）2+6，

解得：t=-5或-13，

故C2頂點坐標為（-1，-2）或（-17，-2），

故函數C2的表達式為：y＝ (x+1)22或y＝ (x+17)22；

（3）存在，理由：

設點C（-10，n），點A（-9，6），

當點B在函數對稱軸的右側時，如圖，∠ACB=90°，CA=CB，

作直線l：x=-10，過點A作直線l的垂線交于點G，

過點C作x軸的平行線、過點B作x軸的垂線，兩條直線交于點H，

∵∠GCA+∠AGH=90°，∠AGH+∠BCH=90°，

∴∠BCH=∠ACG，

∠CGA=∠CHB=90°，CA=CB，

∴△CGA≌△CHB（AAS），

∴BH=AG，CG=CH，

則點B（-4-n，n-1），

將點B的坐標代入拋物線C1：y＝ (x+9)+6并解得：n=1±4；

綜上，點C的坐標為：（-10，1+4）或（-10，1-4）．

當點B在函數對稱軸的左側時，

同理可得點B（n-16，n+1），

將點B的坐標代入函數表達式并解得：n=3，

綜上，點C的坐標為：（-10，1+4）或（-10，1-4）或（-10，3）．