Question

【題目】△ABC內接于⊙O，BC是⊙O的直徑，點D是BC延長線上的一點，AD=AB，且∠ACB=2∠D，CD=2（如圖1）

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）AD= ；

（3）若點E是⊙O上的一點，AE與BC交于點F，且點E等分半圓BC時（如圖2），求CF的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）CF=.

【解析】

（1）連接OA，通過證明AD⊥OA即可得出結論；

（2）易得△OAC是等邊三角形，可得CA=OC=OA=CD=2，由勾股定理得AD的長；

（3）過F作FH⊥AC，H為垂足，設CH=x，在Rt△CFH中求得FH=，在Rt△AFH中，求得AH =，由AH+GH=2求得x的值，從而得出結論.

（1）連結OA，

∵AD=AB，

∴∠ B=∠D

∵∠ACB=2∠D

∴∠ACB=2∠B

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC=90°

在Rt△ABC中, ∠B+∠ACB=90°,即∠B=30°，∠D=30°，∠BAD=120°

又∵OA=OB,

∴∠OAB=∠B=30°，

∴∠OAD=90°

即AD⊥OA ，

∴AD是⊙O的切線

（2）∵OA=OC, ∠ACB =2∠D =60，△OAC是等邊三角形，

∴AC=OC，

∠OAC =60，∠CAD =30=∠D,

∴CA=OC=OA=CD=2

在Rt△OAD中,

（3）過F作FH⊥AC，H為垂足，

設CH=x，在Rt△CFH中，∠ACF =60，FH=，

在Rt△AFH中，∠FAH =45,

∴AH=FH=，

又AC=CD=2，

∴，

，

∴CF=.