Question

【題目】已知拋物線y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）與x軸分別交于A（x1 ， 0）、
B（x2 ， 0）兩點，直線y2=2x+t經過點A．

（1）已知A、B兩點的橫坐標分別為3、﹣1．
①當a=1時，直接寫出拋物線y1和直線y2相應的函數表達式；
②如圖，已知拋物線y1在3＜x＜4這一段位于直線y2的下方，在5＜x＜6這一段位于直線y2的上方，求a的取值范圍；
（2）若函數y=y1+y2的圖象與x軸僅有一個公共點，探求x2﹣x1與a之間的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵已知拋物線y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）經過A（x1，0）、B（x2，0）兩點，當a=1，

∴y1=（x﹣3）（x+1），

∵直線y2=2x+t經過點A，

∴0=2×3+t，

解得：t=﹣6，

∴y2=2x﹣6；

②設y1=a（x﹣3）（x+1），

由題意可得，當x=4時，y1=5a＜2，

∴a＜ ，

當x=5時，y1=12a＞4，

∴a＞ ，

∴ a＜

（2）解：∵直線y2過點A（x1，0），

∴0=2x1+t，∴t=﹣2x1，

∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+2x﹣2x1=（x﹣x1）[a（x﹣x1）+2]

∴方程的根為x1，x2﹣ ，

∵函數y的圖象與x軸僅有一個公共點，

∴x1=x2﹣ ，

∴x2﹣x1=

【解析】
（1）①根據已知條件得出當a=1時，得到y1=（x﹣3）（x+1），由于直線y2=2x+t經過點A，得到方程0=2×3+t，得到t=﹣6，

于是得到結論；②設y1=a（x﹣3）（x+1），根據題意得出不等式即可得出結論；（2）根據已知條件得到y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+2x﹣2x1=（x﹣x1）[a（x﹣x1）+2]，根據函y的圖像與x軸僅有一個公共點，于是得到結論。

【考點精析】通過靈活運用確定一次函數的表達式和拋物線與坐標軸的交點，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．即可以解答此題．