Question

【題目】如圖1，正方形紙片ABCD的邊長為2，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，EF、GH分別是折痕（如圖2）．設AE=x（0＜x＜2），給出下列判斷：
①當x=1時，點P是正方形ABCD的中心；
②當x= 時，EF+GH＞AC；
③當0＜x＜2時，六邊形AEFCHG面積的最大值是 ；
④當0＜x＜2時，六邊形AEFCHG周長的值不變．
其中正確的是（寫出所有正確判斷的序號）．

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：（1）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，

∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形，

∴當AE=1時，重合點P是BD的中點，

∴點P是正方形ABCD的中心；

故①結論正確，（2）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，

∴△BEF∽△BAC，

∵x= ，

∴BE=2﹣ = ，

∴ = ，即 = ，

∴EF= AC，

同理，GH= AC，

∴EF+GH=AC，

故②結論錯誤，（3）六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積﹣△EBF的面積﹣△GDH的面積．

∵AE=x，

∴六邊形AEFCHG面積=22﹣ BEBF﹣ GDHD=4﹣ ×（2﹣x）（2﹣x）﹣ xx=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，

∴六邊形AEFCHG面積的最大值是3，

故③結論錯誤，（4）當0＜x＜2時，

∵EF+GH=AC，

六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2 =4+2

故六邊形AEFCHG周長的值不變，

故④結論正確．

所以答案是：①④．

【考點精析】本題主要考查了正方形的性質和翻折變換（折疊問題）的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等才能正確解答此題．