Question

如圖，等邊⊿ABC，點D、E分別在BC、AC上，且BD=CE，AD與BE相交于點F，

（1）試說明⊿ABD≌⊿BCE；
（2）⊿AEF與⊿ABE相似嗎?說說你的理由；
（3）BD²=AD·DF嗎?請說明理由．

Answer 1

（1）見解析；（2）相似；（3）BD²=AD·DF

試題分析：（1）根據等邊三角形的性質，可得AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，即可證明△ABD≌△BEC，即可以求得∠AFE=∠1+∠3=60°；
（2）根據∠AEF=∠AEB，∠AFE=∠BAE=60°，即可證明△AEF∽△ABE；
（3）易證△ABD∽△BFD，即可根據對應邊成比例證得結論。
（1）∵⊿ABC為等邊⊿                                                        
∴AB=BC，∠ABC=∠BCE  
∵BD=CE
∴⊿ABD≌⊿BCE                       
(2) ∵ ⊿ABD≌⊿BCE
∴∠BAD=∠EBC
∵∠BAC=∠ABC
∴∠ABE=∠EAF 
∵∠AEF=∠BEA  
∴⊿AEF與⊿ABE相似                   
(3) ∵⊿ABD≌⊿BCE
∴∠BAD=∠EBC
∵∠BDF=∠ADB
∴⊿BDF∽⊿ADB
∴=
∴BD²=AD·DF
點評：解答本題的關鍵是得到△ABD∽△BFD。