Question

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過點A的一條直線，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）當直線AE處于如圖①的位置時，有BD=DE+CE，請說明理由；
（2）當直線AE處于如圖②的位置時，則BD、DE、CE的關系如何？請說明理由；
（3）歸納（1）、（2），請用簡潔的語言表達BD、DE、CE之間的關系．

Answer 1

（1）見解析   （2）見解析   （3）BD=DE-CE

此題考查了全等三角形的判定與性質，以及等腰直角三角形的性質，利用了轉化及等量代換的思想，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．
（1）由BD垂直于AE，得到三角形ABD為直角三角形，利用直角三角形兩銳角互余得到一對角互余，再由∠BAC=90°，得到一對角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，AB=AC，利用AAS可得出三角形ABD與三角形ACE全等，由全等三角形的對應邊相等得到AD=CE，BD=AE，由AE=AD+DE，等量代換即可得證；
（2）當直線AE處于如圖②的位置時，則BD、DE、CE的關系為BD=DE-CE，理由為：同（1）得出三角形ABD與三角形ACE全等，由全等三角形的對應邊相等得到AD=CE，BD=AE，由AE=DE-AD等量代換即可得證；
（3）由（1）（2）總結得到當D、E位于直線BC異側時，BD=DE+CE；當D、E位于直線BC同側時，BD=DE-CE．
解：（1）證明：∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠EAC=90°∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD和△CAE中
∵

∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AD=CE，BD=AE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
（2）BD、DE、CE的關系為BD=DE-CE，理由為：
證明：在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AD=CE，BD=AE，
∵AE=DE-AD，
∴BD=DE-CE；
（3）當D、E位于直線BC異側時，BD=DE+CE；當D、E位于直線BC同側時，BD=DE-CE．