Question

已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，分別連接AF和CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面積為24cm²，求△ABF的周長．

Answer 1

（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
由折疊的性質(zhì)可得：OA=OC，AC⊥EF，
在△AOE和△COF中，
∵

∠EAO=∠FCO OA=OC ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵AC⊥EF，
∴四邊形AFCE是菱形；

（2）∵四邊形AFCE是菱形，
∴AF=AE=10cm，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴S_△ABF=

1

2

AB•BF=24cm²，
∴AB•BF=48（cm²），
∴AB²+BF²=（AB+BF）²-2AB•BF=（AB+BF）²-2×48=AF²=100（cm²），
∴AB+BF=14（cm）
∴△ABF的周長為：AB+BF+AF=14+10=24（cm）．