Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，D為頂點，其中點B的坐標為，點D的坐標為．

（1）求該二次函數的表達式；

（2）點E是線段BD上的一點，過點E作x軸的垂線，垂足為F，且，求點E的坐標．

（3）試問在該二次函數圖象上是否存在點G，使得的面積是的面積的？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點E的坐標為；（3）存在，點G的坐標為或.

【解析】

（1）依題意，利用二次函數的頂點式即可求

（2）可通過點B，點D求出線段BD所在的直線關系式，點E在線段BD上，即可設點E的坐標，利用點與點的關系公式，通過即可求

（3）先求線段AD所在的直線解析式，求利用點到直線的公式，即可求與的高，利用三角形面積公式即可求．

（1）依題意，設二次函數的解析式為

將點B代入得，得

∴二次函數的表達式為：

（2）依題意，點，點，設直線BD的解析式為

代入得，解得

∴線段BD所在的直線為，

設點E的坐標為：

∴

∵

∴

整理得

解得，（舍去）

故點E的縱坐標為

∴點E的坐標為

（3）存在點G，

設點G的坐標為

∵點B的坐標為，對稱軸

∴點A的坐標為

∴設AD所在的直線解析式為

代入得，解得

∴直線AD的解析式為

∴ AD的距離為5

點G到AD的距離為：

由（2）知直線BD的解析式為：，

∵BD的距離為5

∴同理得點G至BD的距離為：

∴

整理得

∵點G在二次函數上，

∴

代入得

整理得

解得，

此時點G的坐標為或