Question

【題目】我們知道，平面內(nèi)互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，如果兩條數(shù)軸不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么這兩條數(shù)軸構(gòu)成的是平面斜坐標(biāo)系，兩條數(shù)軸稱為斜坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，公共原點(diǎn)稱為斜坐標(biāo)系的原點(diǎn)，如圖1，經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)P作坐標(biāo)軸的平行線PM和PN，分別交x軸和y軸于點(diǎn)M，N．點(diǎn)M、N在x軸和y軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別叫做P點(diǎn)的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）稱為點(diǎn)P的斜坐標(biāo)，記為P（x，y）．

（1）如圖2，ω＝45°，矩形OABC中的一邊OA在x軸上，BC與y軸交于點(diǎn)D，OA＝2，OC＝l．

①點(diǎn)A、B、C在此斜坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)分別為A　 　，B　 　，C　 　．

②設(shè)點(diǎn)P（x，y）在經(jīng)過(guò)O、B兩點(diǎn)的直線上，則y與x之間滿足的關(guān)系為　 　．

③設(shè)點(diǎn)Q（x，y）在經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)的直線上，則y與x之間滿足的關(guān)系為　 　．

（2）若ω＝120°，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

①如圖3，圓M與y軸相切原點(diǎn)O，被x軸截得的弦長(zhǎng)OA＝4 ，求圓M的半徑及圓心M的斜坐標(biāo)．

②如圖4，圓M的圓心斜坐標(biāo)為M（2，2），若圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到y軸的距離為1，則圓M的半徑r的取值范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）①（2，0），（1，），（﹣1，）；②y=x；③ y=x，y=﹣x+；（2）①半徑為4，M（，）；②﹣1＜r＜+1．

【解析】

（1）①如圖2-1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x軸于F．求出OE、OF、CF、OD、BE即可解決問(wèn)題；②如圖2-2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．利用平行線分線段成比例定理即可解決問(wèn)題；③如圖3-3中，作QM∥OA交OD于M．利用平行線分線段成比例定理即可解決問(wèn)題；

（2）①如圖3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y軸交OA于N．解直角三角形即可解決問(wèn)題；②如圖4中，連接OM，作MK∥x軸交y軸于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．求出FN=NE=1時(shí)，⊙M的半徑即可解決問(wèn)題.

（1）①如圖2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x軸于F，

由題意OC=CD=1，OA=BC=2，

∴BD=OE=1，OD=CF=BE=，

∴A（2，0），B（1，），C（﹣1，），

故答案為（2，0），（1，），（﹣1，）；

②如圖2﹣2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M，

∵OD∥BE，OD∥PM，

∴BE∥PM，

∴=，

∴，

∴y=x；

③如圖2﹣3中，作QM∥OA交OD于M，

則有，

∴，

∴y=﹣x+，

故答案為y=x，y=﹣x+；

（2）①如圖3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y軸交OA于N，

∵ω=120°，OM⊥y軸，

∴∠MOA=30°，

∵MF⊥OA，OA=4，

∴OF=FA=2，

∴FM=2，OM=2FM=4，

∵MN∥y軸，

∴MN⊥OM，

∴MN=，ON=2MN=，

∴M（，）；

②如圖4中，連接OM，作MK∥x軸交y軸于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．

∵MK∥x軸，ω=120°，

∴∠MKO=60°，

∵MK=OK=2，

∴△MKO是等邊三角形，

∴MN=，

當(dāng)FN=1時(shí)，MF=﹣1，

當(dāng)EN=1時(shí)，ME=+1，

觀察圖象可知當(dāng)⊙M的半徑r的取值范圍為﹣1＜r＜+1．

故答案為：﹣1＜r＜+1．