Question

【題目】如圖，已知為的直徑，為的一條弦，是外一點，且，垂足為，交于點和點，連接．

（1）求證：；

（2）若，求證：是的切線；

（3）連接，若，．

①設，用含的代數式表示；

②求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①；②的半徑為5．

【解析】

（1）依據直徑所對的圓周角是直角，及同位角相等，兩直線平行即可得證.

（2）連接，在等腰中，依據三線合一得到，依據同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍，結合，得到，從而，由因為，等量代換可得，即，根據切線的判定即可得證.

（3）①由是直徑，依據直徑所對的圓周角為直角，得，由同角的余角相等得，繼而，最后依據正切的定義即可表示出，相加即為.

②用x表示出、半徑，由三線合一得是的中點，是的中位線，即可建立關于x的方程，解出即可得到半徑.

（1）是直徑，

，

，

，

，

；

（2）連接.

，,

，是的中點，

，，

，

，

又∵在中，，

，即，

，

是的切線；

（3）①在中，，

.

，

.

是直徑，，

∴，

，

，

，

；

②由①得，

,

是的中點，是的中點，，

，解得，

，即的半徑為5.