Question

【題目】如圖，正方形ABCD內接于⊙O，E為弧CD上任意一點，連接DE，AE.

(1)求∠AED的度數；

(2)如圖②，過點B作BF∥DE交⊙O于點F，連接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的長度．

Answer 1

【答案】（1）∠AED＝45°；（2）或

【解析】

（1）圖1中，連接OA、OD．根據∠AED＝∠AOD，只要證明∠AOD＝90°即可解決問題；

（2）圖2中，連接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．首先證明CE＝AF＝1，求出AC、AD，設DH＝EH＝x，在Rt△ADH中，利用勾股定理即可解決問題.

（1）如圖①，連接OA，OD.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠AOD＝90°，

∴∠AED＝∠AOD＝45°.

(2)如圖②，連接CF，CE，CA，作DH⊥AE于點H，

∵BF∥DE，AB∥CD，

∴∠ABF＝∠CDE.

∵∠CFA＝∠AEC＝90°，

∴∠DEC＝∠AFB＝135°.

∵CD＝AB，

∴△CDE≌△ABF，

∴AF＝CE＝1，

∴AC＝，

∴AD＝AC＝，

∵∠DHE＝90°，

∴∠HDE＝∠HED＝45°，

∴DH＝HE，設DH＝HE＝x.

在Rt△ADH中，

∵AD2＝AH2＋DH2，

∴＝(4－x)2＋x2，

解得x＝或，

∴DE＝DH＝或.