Question

如圖，已知Rt△ABC，∠ABC=90°．
（1）根據下列語句作圖并保留作圖痕跡：作Rt△ABC的外接圓⊙O，過點A作⊙O的切線PA與AB的垂直平分線交于點P．
（2）連接PB，求證：PB是⊙O的切線；
（3）已知PA=AB=，求線段PA、PB與弧AB圍成的圖形的面積．

Answer 1

（1）解：如圖所示：

（2）證明：∵點P、O在AB垂直平分線上，
∴PA=PB，AO=BO，
∴∠PAB=∠PBA，
∠OAB=∠OBA，
∵PA是⊙O的切線，
∴∠OAP=90°，
∴∠OAB+∠BAP=∠OBA+∠PBA=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O切線；

（3）解：∵PA，PB都是⊙O的切線，
∴PA=PB，
∵PA=AB=，
∴PA=AB=PB，
∴△PAB是等邊三角形，
∴∠PAD=60°，
∴∠OAD=30°，
∴r=1，∠AOB=60°，∠AOB=120°，
∴S_{四邊形AOBP}=×1××2=，
S_扇形AOB=π，
所求圖形的面積為（-π）平方厘米．
分析：（1）利用直角三角形外接圓的性質，直接找到斜邊中點求出即可；
（2）利用切線的性質與判定，得出∠OAB+∠BAP=∠OBA+∠PBA=90°，即可得出答案；
（3）根據（2）中所求，可以得出△PAB是等邊三角形，進而得出r=1，∠AOB=60°，∠AOB=120°，即可求出所求圖形的面積．
點評：此題主要考查了切線的判定與性質以及扇形面積求法和做復雜圖形，根據已知得出正確圖形是解題關鍵．